Видео мастер-класс Деление окружности, или Геометрия для чайников

Краткое содержание:

Деление окружности, или Геометрия для чайников

Приветствую всех мастеров и мастериц!

Очень многие из нас, учась в школе, думали, что очень многие предметы школьной программы в жизни нам никогда не понадобятся. Я так думала про геометрию. Однако жизнь сложилась так, что именно геометрия мне оказалась и нужна.

Одной из основных сложностей при создании круглого орнаменты является его симметричность. Иногда хочется, чтобу у нас был точный 8-ми гранник, иногда 5-ти конечная звезда, а иногда нужен 7-ми конечный цветок.

Эту глобальную проблему симметричного деления окружности на равное количество частей можно решить просто при помощи циркуля, линейки, листа бумаги и геометрии.

Деление окружности на 3 равных сектора.

Для начала нам понадобиться сама окружность. Рисуем ее при помощи циркуля

Выбираем на поверхности окружности любую точку, отмечаем ее карандашиком. Далее циркулем отмеряем радиус нашей окружности (кто забыл — это расстояние от центра окружности до любой ее точки)

Ставим наш циркуль с набранным радиусом в точку, которую мы на окружности отметили и проводим дугу до пересечения с нашей основной окружностью.

Через точку на окружности и центр окружность проводим линию до пересечения с гранью.

Таким образом мы получили 3 точки на нашей окружности.

Резьба по дереву для начинающих. Деление окружности на 5 частей.

Теперь из центра проводим линии, соединяя центр с этими точками и у нас образовались 3 одинаковых сектора.

Деление окружности на 4 равных сектора.

Начинаем опять с окружности, необходимого нам диаметра. Назову ее окружность 1.

Через центр окружности 1 проводим линию до пересечения с обеими сторонами окружности 1.

Из центра окружность 1 при помощи циркуля рисуем окружность больше диаметра — окружность 2.

Ставим ножку циркуля в точку на пересечении наше прямой линии и окружности 2 и из нее проводим дугу. Расстояние от точки на окружности до дуги равно диаметру окружности 1. (диаметр = 2 радиусам). Ту же процедуру повторяем с точкой на другой стороны окружности.

Геометрия 7 класса в одной задаче. Геометрия 7 класс кратко | Математика

У нас есть 2 новые точки, появившиеся на пересечении дуг. Соединяем их и получаем окружность, разбитую на 4 ровных сектора.

Деление окружности на 5 равных секторов.

Начало работы с делением окружности на 5 частей очень схожа с делением окружности на 4 части, поэтому я начну уже с разделенного круга на 4 части.

Циркулем набираем радиус нашей окружности и ставим ножку в одну из имеющихся у нас точек. В моем случае это левая точка. Проводим дугу до пересечения ее с основной линии окружности.

Соединяем получившиеся точки при помощи линейки и находим новую точку пересечения (точка Н)

Циркулем набираем расстояние от верхний точки на окружности до точки Н. Ставим ножку в точку Н и проводим дугу и получаем еще одну точку (точка М)

Ставим ножку циркуля в верхнюю точку окружности и набираем расстояние до точки М.

Ставим ножку циркуля в верхнюю точку и откладываем набранное нами расстояние на нашей окружности.

Ставим циркуль в получившуюся точку и еще раз откладываем это расстояние. Таким же образом ставим еще 2 точки.

У нас получилось 4 отложенных точки и 1 верхняя точка окружности. Соединяем центр окружности с этими точками и получаем 5 равных секторов.

Деление окружности на 6 равных секторов.

Нам снова нужна окружность.

Берем любую точку на этой окружности, ставим в нее ножку циркуля с набранным расстоянием радиуса и проводим дугу до пересечения с нашей окружностью.

Далее соединяем выбранную нами точку с центром окружности и находим еще одну точку с противоположной стороны.

Компас 3D для начинающих. Урок № 1 основы

Из этой точки таким же расстоянием проводим еще одну дугу.

Мы получили 6 точек — 2 мы шали при помощи дуг, 1- наша выбранная и 1 найденная при помощи линейки. Соединяем их с центром и получаем 6 равных секторов.

Деление окружности на 7 равных секторов.

Чтобы не повторяться и не описывать уже знакомые алгоритмы, берем за основу момент нахождения точки Н для разбития окружности на 5 частей.

Отмеряем циркулем расстояние от точки Н до точки на окружности.

Ставим ножку циркуля в верхнюю точку и набранным на циркуле расстоянием откладываем точки, аналогично как мы делали в случае разбивки окружности на 5 частей

Соединяем наши новые точки с центром и получаем 7 равных секторов.

Используя эти простые приемы можно создавать геометрические орнаменты различной сложности

LiveInternetLiveInternet

  • Регистрация
  • Вход

Рубрики

  • Декорирование (821)
  • Идеи (473)
  • Мастер — класс (249)
  • Текстиль — арт (99)
  • Книги (1)
  • Арт — галерея (493)
  • Дети (128)
  • Натюрморт (85)
  • Женщины (81)
  • Животные в живописи (61)
  • Жанровые сцены (53)
  • Птицы (33)
  • Городской пейзаж (14)
  • Гравюра (13)
  • Интерьер в живописи (5)
  • Карикатуры (2)
  • Декоративная роспись (320)
  • Идеи (137)
  • Мастер — класс (77)
  • Орнаменты (67)
  • Художники (30)
  • Трафареты (10)
  • Зентаглы (8)
  • Детям (100)
  • Крючок (92)
  • Идеи (86)
  • Детское (68)
  • Игрушки (66)
  • Вышивка (61)
  • Кружево (40)
  • Работы (20)
  • Мастер-класс (2)
  • Коклюшечное кружево (13)
  • Роспись мебели (39)
  • Книги (14)
  • Работы мастеров (13)
  • Мастер — класс (10)
  • Технология (2)
  • Папье — маше (34)
  • Мастер — класс (25)
  • ФОТО (21)
  • Спицами (18)
  • Детский центр интеллектуального развития «ГРА (15)
  • Уроки рисования (15)
  • Декупаж, идеи (12)
  • Красивая мебель (7)
  • Боро (5)
  • декупаж, картинки (5)
  • Мои собаки (5)
  • Интерьер (5)
  • Ткачество (4)
  • Поделки мужа-умельца (4)
  • Лайфхак (3)
  • Каллиграфия, леттеринг (3)
  • ВИДЕО (3)
  • Книги (1)
  • Разное (1)
  • Мастер-классы Марата Ка (1)
  • Винтажные вещицы (50)
  • Идеи (36)
  • Мастер — класс (5)
  • Вязание крючком (8)
  • Кайма (1)
  • Гипс (9)
  • Города (17)
  • Рим (1)
  • Москва (1)
  • Барнаул (1)
  • Владивосток (1)
  • Лондон (3)
  • Париж (8)
  • Петербург (2)
  • ДЕКУПАЖ (1784)
  • Цветы (77)
  • Ангелы (22)
  • Шкатулки (19)
  • Монохром (14)
  • Бордюры (10)
  • Знаки зодиака (7)
  • Материалы (6)
  • Циферблаты (5)
  • Буквы (45)
  • Винтажные картинки (462)
  • Гербы, печати, марки (10)
  • Декупаж мебели (44)
  • Идеи (156)
  • Кантри, прованс (54)
  • Книги (6)
  • Мастер — класс (175)
  • Работы мастеров (417)
  • Распечатки для декупажа (82)
  • Рождество (145)
  • Трафареты (20)
  • Фоны (94)
  • Загородная жизнь (46)
  • Идеи (44)
  • Картонаж (44)
  • Идеи (10)
  • Мастер — класс (35)
  • Коробки (12)
  • Красивая одежда (27)
  • Красивые сады (12)
  • Лепка (5)
  • Массы для лепки (5)
  • Мои работы (260)
  • Декор предметов (104)
  • Декупаж (98)
  • Мои тексты (28)
  • Крючок (17)
  • Текстиль (6)
  • Коклюшки (3)
  • Фриволите (2)
  • Мои цветы (2)
  • Необычные техники рукоделия (14)
  • Новый год и Рождество (196)
  • Ёлочные игрушки (68)
  • Идеи (102)
  • Пасха (113)
  • Ретро (127)
  • Открытки (103)
  • Журналы мод (22)
  • Экслибрисы (1)
  • Фриволите (5)

Музыка

Поиск по дневнику

Подписка по e-mail

Интересы

Постоянные читатели

Сообщества

Трансляции

Статистика

Деление окружности, или Геометрия для чайников

Деление окружности, или Геометрия для чайников

Приветствую всех мастеров и мастериц!

Очень многие из нас, учась в школе, думали, что очень многие предметы школьной программы в жизни нам никогда не понадобятся. Я так думала про геометрию. Однако жизнь сложилась так, что именно геометрия мне оказалась и нужна.

Одной из основных сложностей при создании круглого орнаменты является его симметричность. Иногда хочется, чтобу у нас был точный 8-ми гранник, иногда 5-ти конечная звезда, а иногда нужен 7-ми конечный цветок.

Эту глобальную проблему симметричного деления окружности на равное количество частей можно решить просто при помощи циркуля, линейки, листа бумаги и геометрии.

Деление окружности на 3 равных сектора.

Для начала нам понадобиться сама окружность. Рисуем ее при помощи циркуля

Выбираем на поверхности окружности любую точку, отмечаем ее карандашиком. Далее циркулем отмеряем радиус нашей окружности (кто забыл — это расстояние от центра окружности до любой ее точки)

Ставим наш циркуль с набранным радиусом в точку, которую мы на окружности отметили и проводим дугу до пересечения с нашей основной окружностью.

Через точку на окружности и центр окружность проводим линию до пересечения с гранью.

Таким образом мы получили 3 точки на нашей окружности.

Теперь из центра проводим линии, соединяя центр с этими точками и у нас образовались 3 одинаковых сектора.

Деление окружности на 4 равных сектора.

Начинаем опять с окружности, необходимого нам диаметра. Назову ее окружность 1.

Через центр окружности 1 проводим линию до пересечения с обеими сторонами окружности 1.

Из центра окружность 1 при помощи циркуля рисуем окружность больше диаметра — окружность 2.

Ставим ножку циркуля в точку на пересечении наше прямой линии и окружности 2 и из нее проводим дугу. Расстояние от точки на окружности до дуги равно диаметру окружности 1. (диаметр = 2 радиусам). Ту же процедуру повторяем с точкой на другой стороны окружности.

У нас есть 2 новые точки, появившиеся на пересечении дуг. Соединяем их и получаем окружность, разбитую на 4 ровных сектора.

Деление окружности на 5 равных секторов.

Начало работы с делением окружности на 5 частей очень схожа с делением окружности на 4 части, поэтому я начну уже с разделенного круга на 4 части.

Циркулем набираем радиус нашей окружности и ставим ножку в одну из имеющихся у нас точек. В моем случае это левая точка. Проводим дугу до пересечения ее с основной линии окружности.

Соединяем получившиеся точки при помощи линейки и находим новую точку пересечения (точка Н)

Циркулем набираем расстояние от верхний точки на окружности до точки Н. Ставим ножку в точку Н и проводим дугу и получаем еще одну точку (точка М)

Ставим ножку циркуля в верхнюю точку окружности и набираем расстояние до точки М.

Ставим ножку циркуля в верхнюю точку и откладываем набранное нами расстояние на нашей окружности.

Ставим циркуль в получившуюся точку и еще раз откладываем это расстояние. Таким же образом ставим еще 2 точки.

У нас получилось 4 отложенных точки и 1 верхняя точка окружности. Соединяем центр окружности с этими точками и получаем 5 равных секторов.

Деление окружности на 6 равных секторов.

Нам снова нужна окружность.

Берем любую точку на этой окружности, ставим в нее ножку циркуля с набранным расстоянием радиуса и проводим дугу до пересечения с нашей окружностью.

Далее соединяем выбранную нами точку с центром окружности и находим еще одну точку с противоположной стороны.

Из этой точки таким же расстоянием проводим еще одну дугу.

Мы получили 6 точек — 2 мы шали при помощи дуг, 1- наша выбранная и 1 найденная при помощи линейки. Соединяем их с центром и получаем 6 равных секторов.

Деление окружности на 7 равных секторов.

Чтобы не повторяться и не описывать уже знакомые алгоритмы, берем за основу момент нахождения точки Н для разбития окружности на 5 частей.

Отмеряем циркулем расстояние от точки Н до точки на окружности.

Ставим ножку циркуля в верхнюю точку и набранным на циркуле расстоянием откладываем точки, аналогично как мы делали в случае разбивки окружности на 5 частей

Соединяем наши новые точки с центром и получаем 7 равных секторов.

Используя эти простые приемы можно создавать геометрические орнаменты различной сложности

Круг диаметром 3 см шаблон распечатать: Раскраска круг

Геометрические фигуры. Шаблоны для вырезания из бумаги: распечатать, разрезать и готово!

Автор Светлана На чтение 2 мин.

Здравствуйте, друзья! Как я и обещала в прошлый раз сегодня мы подготовили для детей шаблоны геометрических фигур для вырезания из бумаги. Среди них вы найдете круг, треугольник, квадрат, овал и прямоугольник. В этот раз все геометрические фигуры раскрашены в различные яркие цвета. Если вам нужны они просто белые, бесцветные, то советую посмотреть нашу прошлую статью.

Для самых маленьких деток можно распечатать крупные рисунки, по два на листике. Такие шаблоны им будет вырезать намного легче. Для детей постарше есть более мелкие изображения, которых на одном листике расположено намного больше и разного размера.

Кроме обучения детей навыку вырезания наши геометрические фигуры могут выполнять еще одну полезную функцию. Их можно порекомендовать распечатать и вырезать воспитателям, учителям или родителям для того, чтобы использовать их в качестве удобного дидактического материала при занятиях с детьми математикой. Таким образом можно решать несложные задачки складывая фигуры разных размеров и цветов.

Еще из них можно делать несложные аппликации, например, из разных зеленых треугольников можно сложить елочку, а из голубых кругов снеговика. ��

Для того, чтобы геометрические фигуры прослужили как можно дольше их можно вырезать и наклеить на картон и, например, обклеить со всех сторон скотчем. И как всегда напоминаю, что перед тем как сохранить шаблоны к себе на компьютер не забудьте открыть их в полном размере, кликнув по ним мышкой.

Crafty Kate’s workshop: Нарезаем круги!

В продолжение рассказа о “мастерской”. В рядах читателей возник вопрос о “девайсах для нарезания кругов”. Решила вынести в отдельный пост, так как информация полезная, я в своё время сама за такой охотилась. Круг у нас форма классическая – часто используется и в открытках, и в страничках. В бытность мою скрап-ребенком, все было просто. Берешь тарелку, шлёп её на бумагу, карандашом обвёл, ножничками вырезал. Использование специальных инструментов позволяет добиваться идеально ровной окружности, скорости вырезания и существенно расширяет выбор “тарелок” с точки зрения размера.

Черчение. урок #1 Как работать циркулем, как делать сопряжения

Моим первым инструментом был фигурный резак фискарс.

Чтобы он вырезал круги, нужны шаблоны и макетный коврик. Макетный коврик может быть любой, а шаблоны – только фискарс. Для маленьких кругов – это пластина формата А4.

В качестве бонуса, её кромку можно использовать для создания фигурного края бумаги. Вы можете выбирать из семи диаметров, самый маленький из которых 1 дюйм (2,5 см), а самый большой – 4. Для окружностей большего диаметра Фискарс предлагает набор из четырех шаблонов:

Каждый из них позволяет вырезать окружности двух диаметров – итого 8 диаметров на выбор, из которых самый маленький – 4,5 дюйма, а самый большой – 8,25.

Существуют разные шаблоны для этого резака, многие из них у меня есть, но чаще всего я использую круги и овалы. Самый большой недостаток системы Фискарс – это проблемы с толщиной бумаги. Даже фотографии он прорезает с натяжкой. Идеально он режет только скрап-бумагу. С кардстоком не справляется. Это меня очень огорчало, особенно когда я решила делать больше тоннелей. Тогда Катя (Painter) посоветовала купить резак от Martha Stewart, предназначенный только для кругов. Рекомендовала как более мощный.

Этому резаку подвластны ЛЮБЫЕ диаметры от 4х до 12ти дюймов, и у него очень острое и мощное лезвие. Я успела попробовать его только один раз – на гознаковской акварельной бумаге – и поняла, что и кардсток ему покорится! Конечно же, и тут нужна тренировка. Главная хитрость, как мне показалось, это неотрывно делать надрез, то есть резать с равномерным нажимом и, желательно, не останавливать руку. Для этого резака тоже нужен макетный коврик.

Как нарисовать круг в Word

Существует много разных типов файлов и объектов, которые можно вставить в документы Microsoft Word. Например, вы также можете создавать объекты и фигуры целиком с нуля. Поэтому, если вам нужно нарисовать круг в ворде и вставить его в свой документ, вы можете использовать опцию «Фигуры» в меню «Вставка». Далее мы подробно рассмотрим, как нарисовать круг в ворде.

Как нарисовать круг в ворде

Инструмент, который мы будем использовать технически предназначен для вставки овалов, но мы отрегулируем размер овала так, чтобы он был идеально пропорционален и превратился в круг. Так же вы сможете в ворде нарисовать круг определенного диаметра.

Далее изложены шаги, которые нужно проделать, чтобы нарисовать круг в ворде.

  1. Найдите место, в котором вы хотите нарисовать круг в ворде.
  2. Перейдите на вкладку «Вставка» в верхней части окна.
Как нарисовать круг в Word – Вкладка Вставка
  1. В разделе «Иллюстрации» нажмите на кнопку «Фигуры»
Как нарисовать круг в Word – Фигуры
  1. В раскрывающееся меню щелкните значок «Овал» в разделе «Основные фигуры».
Как нарисовать круг в Word – Нарисовать овал
  1. Щелкните мышью в нужном месте в документе, где вы хотите нарисовать круг в ворде, а затем перетащите указатель мыши, и нарисуйте произвольный овал.
Как нарисовать круг в Word – Фигура овал в ворде
  1. Перейдите на вкладку «Формат». Обратите внимание, что будущий круг в ворде должен быть выбран для отображения этого меню.
Как нарисовать круг в Word – Вкладка Формат
  1. Щелкните в поле «Высота фигуры» в разделе «Размер» ленты в верхней части окна, затем введите желаемую высоту круга. Чтобы нарисовать в ворде круг нужного диаметра – нужно ввести значение диаметра в поля Высота круга и Ширина круга – это и будет диаметр круга.
Как нарисовать круг в Word – Ввод высоты круга (диаметр круга)
  1. Щелкните внутри поля «Ширина фигуры» и введите то же значение, которое вы указали на 7 шаге. В нашем пример, диаметр круга равен 3 см.
Как нарисовать круг в Word – Ввод ширины круга (диаметр круга)
  1. Теперь ваша фигура должна быть идеальным кругом в ворде.
Как нарисовать круг в Word – Нарисовать круг с диаметром 3 см

Еще один способ, как нарисовать круг в ворде, это выбрать фигуру «Овал», зажать и удерживать клавишу Shift во время рисования круга в ворде.

Как нарисовать круг в Word – Нарисовать круг удерживая клавишу Shift

Итак, для того чтобы нарисовать круг в ворде определенного диаметра следует использовать фигуру «Овал» и задать желаемый диаметр круга в ворде в полях высоты и ширины фигуры. Или же, если вам нужно быстро нарисовать круг в ворде произвольного диаметра, то выбрать фигуру овал и удерживая клавишу Shift нарисовать круг. Надеюсь, что вопрос, как нарисовать круг в ворде можно закрыть.

Мастер-класс смотреть онлайн: Деление окружности, или Геометрия для чайников

Приветствую всех мастеров и мастериц!

Очень многие из нас, учась в школе, думали, что очень многие предметы школьной программы в жизни нам никогда не понадобятся. Я так думала про геометрию. Однако жизнь сложилась так, что именно геометрия мне оказалась и нужна.

Одной из основных сложностей при создании круглого орнаменты является его симметричность. Иногда хочется, чтобу у нас был точный 8-ми гранник, иногда 5-ти конечная звезда, а иногда нужен 7-ми конечный цветок.

Эту глобальную проблему симметричного деления окружности на равное количество частей можно решить просто при помощи циркуля, линейки, листа бумаги и геометрии.

Деление окружности на 3 равных сектора.

Для начала нам понадобиться сама окружность. Рисуем ее при помощи циркуля

Выбираем на поверхности окружности любую точку, отмечаем ее карандашиком. Далее циркулем отмеряем радиус нашей окружности (кто забыл – это расстояние от центра окружности до любой ее точки)

Ставим наш циркуль с набранным радиусом в точку, которую мы на окружности отметили и проводим дугу до пересечения с нашей основной окружностью.

Через точку на окружности и центр окружность проводим линию до пересечения с гранью.

Таким образом мы получили 3 точки на нашей окружности.

Теперь из центра проводим линии, соединяя центр с этими точками и у нас образовались 3 одинаковых сектора.

Деление окружности на 4 равных сектора.

Начинаем опять с окружности, необходимого нам диаметра. Назову ее окружность 1.

Через центр окружности 1 проводим линию до пересечения с обеими сторонами окружности 1.

Из центра окружность 1 при помощи циркуля рисуем окружность больше диаметра – окружность 2.

Ставим ножку циркуля в точку на пересечении наше прямой линии и окружности 2 и из нее проводим дугу. Расстояние от точки на окружности до дуги равно диаметру окружности 1. (диаметр = 2 радиусам). Ту же процедуру повторяем с точкой на другой стороны окружности.

У нас есть 2 новые точки, появившиеся на пересечении дуг. Соединяем их и получаем окружность, разбитую на 4 ровных сектора.

Деление окружности на 5 равных секторов.

Начало работы с делением окружности на 5 частей очень схожа с делением окружности на 4 части, поэтому я начну уже с разделенного круга на 4 части.

Циркулем набираем радиус нашей окружности и ставим ножку в одну из имеющихся у нас точек. В моем случае это левая точка. Проводим дугу до пересечения ее с основной линии окружности.

Соединяем получившиеся точки при помощи линейки и находим новую точку пересечения (точка Н)

Циркулем набираем расстояние от верхний точки на окружности до точки Н. Ставим ножку в точку Н и проводим дугу и получаем еще одну точку (точка М)

Ставим ножку циркуля в верхнюю точку окружности и набираем расстояние до точки М.

Ставим ножку циркуля в верхнюю точку и откладываем набранное нами расстояние на нашей окружности.

Ставим циркуль в получившуюся точку и еще раз откладываем это расстояние. Таким же образом ставим еще 2 точки.

У нас получилось 4 отложенных точки и 1 верхняя точка окружности. Соединяем центр окружности с этими точками и получаем 5 равных секторов.

Деление окружности на 6 равных секторов.

Нам снова нужна окружность.

Берем любую точку на этой окружности, ставим в нее ножку циркуля с набранным расстоянием радиуса и проводим дугу до пересечения с нашей окружностью.

Далее соединяем выбранную нами точку с центром окружности и находим еще одну точку с противоположной стороны.

Из этой точки таким же расстоянием проводим еще одну дугу.

Мы получили 6 точек – 2 мы шали при помощи дуг, 1- наша выбранная и 1 найденная при помощи линейки. Соединяем их с центром и получаем 6 равных секторов.

Деление окружности на 7 равных секторов.

Быстрое обучение созданию чертежей в компас 3d

Чтобы не повторяться и не описывать уже знакомые алгоритмы, берем за основу момент нахождения точки Н для разбития окружности на 5 частей.

Отмеряем циркулем расстояние от точки Н до точки на окружности.

Ставим ножку циркуля в верхнюю точку и набранным на циркуле расстоянием откладываем точки, аналогично как мы делали в случае разбивки окружности на 5 частей

Соединяем наши новые точки с центром и получаем 7 равных секторов.

Используя эти простые приемы можно создавать геометрические орнаменты различной сложности

Надеюсь мой МК окажется кому-то полезным.

Удачи в создании шедеворов.

«Барабан радиолюбителя» — цветовая маркировки резисторов

Перевёл alexlevchenko для mozgochiny.ru

Доброго времени суток. Наверняка у многих была ситуация, когда нужно определить номинал сопротивления резистора, а мультиметра под рукой нет, зато есть «прекрасная цветовая разметка»… Для того, чтобы не рыскать по интернету в поисках соответствующей цветовой кодировки предлагаю сделать подобную поделку своими руками.

Необходимые инструменты:

  • Принтер/клей-карандаш или транспортир/циркуль;
  • Карандаш и ластик;
  • Шариковая ручка;
  • Степлер;
  • Пробойник для кожи;
  • Ножницы;
  • Линейка;
  • Цветные карандаши: черный, белый, серый, фиолетовый, синий, зеленый, желтый, оранжевый, красный, коричневый.

Необходимые материалы:

  • Картон/белая бумага/тонкий картон из под упаковок;
  • «Брэд-крепеж» или канцелярская кнопка.

Распечатаем шаблон на картоне. Если нет картона, распечатаем на обычной бумаге и приклеим распечатку на картонную упаковку.

Если нет принтера, воспользуемся транспортиром и циркулем. Начертим круги и отметим центра. Размеры могут варьироваться. Ниже приведены размеры изготовленной поделки.

  • Большой круг диаметром 14.5 см;
  • Средний круг диаметром 10 см;
  • Маленький круг диаметром 5 см.

Используя транспортир отметим десять одинаковых сегментов (по 36 градусов каждый).

В среднем и большом кругах, начертим два дополнительных круга в 1,5 см и 3 см от края. Цвета сегментов расположены в следующем порядке (по часовой стрелке): черный, белый, серый, фиолетовый, синий, зеленый, желтый, оранжевый, красный, коричневый.

КАК РЕШАТЬ ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ? | Математика

В маленьком круге, начертим один дополнительный круг в 1.5 см от края. Цвета центральных сегментов двигаются по часовой стрелке в том же порядке.

В большом кольце нанесём отметки умножителей. Заполняем в следующем порядке:

  • x 1 ……….. черный;
  • N/A ……….. белый;
  • x 100M …… серый;
  • x 10M …….. фиолетовый;
  • x 1M ………. синий;
  • x 100K ……..зеленый;
  • x 10K ……….желтый;
  • x 1K …………оранжевый;
  • x 100 ………..красный;
  • x 10 ………….коричневый.

В среднем кольце цифры располагаются в следующем порядке:

Геометрия 9 класс (Урок№23 — Длина окружности.)

  • 0 ……….. черный;
  • 9 ………… белый;
  • 8 ………… серый;
  • 7 ………… фиолетовый;
  • 6 ………… синий;
  • 5 ………… зеленый;
  • 4 ………… желтый;
  • 3 ………… оранжевый;
  • 2 ………… красный;
  • 1 …………. коричневый.

В маленьком кольце цвета и цифры соответствуют центральному кольцу.

Your ads will be inserted here by

Easy AdSense Pro.

Please go to the plugin admin page to paste your ad code.

Вырежем три диска и расширим центральные отверстия до диаметра лепестков «брэд-крепежа». Соберём диски начиная с большого и заканчивая маленьким. Маркировочные полосы и цифры должны быть читабельны на каждом диске. После чего снова разбираем диски и используя пробойник делаем одинаковые круглые отверстия по окружности между цветами. Позже мы будем использовать их для вращения дисков.

Вырезаем из картона квадрат размерами 15×15 (см) и прямоугольник — 15×6 (см). Определим центр прямоугольника и квадрата путем нанесения двух прямых линий, идущих с углов фигур. На пересечении прямых линий, сделаем отверстие.

В прямоугольнике вырезаем окошко, в котором можно разглядеть цвета и цифры. Если все обозначения выстраивается в линию и круги двигаются без затруднений, закрепляем прямоугольник на краях квадрата и сгибаем лепестки «крепежа», сделав их плоскими.

Нанесём читабельные названия около окошка и указателя со стрелками:

  • «Первая маркировочная полоса»;
  • «Первая цифра»,
  • «Вторая маркировочная полоса»;
  • «Вторая цифра»;
  • «Множитель/коэффициент»;
  • «Третья маркировочная полоса».
  • K = x 1,000
  • M = x 1,000,000
  • «золотая» — допустимое отклонение 5%;
  • «серебристая» — допустимое отклонение 10%;
  • Нет четвертой полосы — допустимое отклонение 20%.

Пошаговый алгоритм определения сопротивления резисторов.

  • Провернём диски, чтобы цвета в окне соответствовали цветовой маркировке резистора.
  • Запишим соответствующие цифры и коэффициенты/множители. После чего переходите к мат. расчетам.

Резистор имеет следующие цвета: коричневый, зеленый, оранжевый и золотой. Поворачивая диски, получаем первое число равное «1», второе число — «5»и «x1K» множителя. Сопротивление составляет 15 кОм. Золотая полоса означает, что точное значение сопротивления может составлять +/- 5% от 15 000 Ом. Поскольку 5% от 15 000 составляет 750, диапазон значений лежит между 14 250 и 15 750 Ом.

Мультиметр показал значение 14,94 кОм, что вполне соответствует 5% -ному допуску.

Другой вариант, когда известно сопротивление и нужно знать цветовую кодировку. Допустим, у нас есть резистор с сопротивлением 1 кОм. Первое число равно 1, а второе — 0. В этом случае множителем у нас выступает число 100. Крутим большой диск, пока не увидим x100. Резистору с номиналом 1 кОм соответствуют коричневые, черные и красные цвета.

На этом всё, спасибо за внимание!

ПОДЕЛИТЕСЬ С ДРУЗЬЯМИ!

About alexlevchenko

Ценю в людях честность и открытость. Люблю мастерить разные самоделки. Нравится переводить статьи, ведь кроме того, что узнаешь что-то новое – ещё и даришь другим возможность окунуться в мир самоделок.

Онлайн калькулятор: Развертка (выкройка) сферы

Калькулятор рассчитывает параметры развертки сферы на плоскости. Картинка ниже иллюстрирует задачу.

Итак, нам известен радиус сферы r и число долей на которое мы хотим ее разбить n. Для описания развертки нам надо найти высоту «дольки» a, ширину «дольки» b, и радиус R большой дуги, на которой построена «долька». Формулы расчета и объяснения, как обычно, приведены под калькулятором.

Развертка сферы

Сгенерировать точки разверткиТочность вычисления

Знаков после запятой: 2

Высота сегмента (h)

save Сохранить extension Виджет

С высотой все понятно — это половина длины окружности, которую можно получить при сечении сферы плоскостью, проходящей через центр. Таким образом,
.
С шириной тоже все понятно — это часть той же окружности, полученная при разбиении всей окружности на n частей:

Радиус дуги можно вычислить по длине хорды (это а) и высоте сегмента (это h=b/2) по следующей формуле (см. Сегмент круга).

В принципе, найдя a и b, считать радиус R даже не обязательно — его можно найти по построению, что иллюстрирует следующая картинка.

Для нахождения радиуса из точек G и H надо провести две окружности, так, чтобы они пересекались — прямая, проведенная через точки пересечения, пересечет среднюю линию в точке центра окружности, на дуге которой лежат G и H.

Несмотря на всю простоту, у метода есть один недостаток — а именно, ему нужно очень много места сбоку для радиуса, и чем больше число долек, на которое мы хотим разбить сферу, тем больше радиус большой дуги. Не везде будет возможность найти столько места и такой большой «циркуль», чтобы нарисовать дугу. Поэтому калькулятор, кроме расчета параметров «дольки», также рассчитывает координаты точек, лежащих на дуге — можно строить дуги дольки по точкам, не используя радиус. Для того, чтобы рассчитать координаты точек, надо пометить флажок «Сгенерировать точки развертки», и указать число точек — дуга будет разбита на заданное число точек с равным угловым шагом, как показано на рисунке:

Как сделать трафарет в Word (из букв, цифр, изображений)

Доброго времени суток!

Трафарет — это спец. пленка (картон, лист бумаги), на которой присутствуют сквозные отверстия, по форме соответствующие буквам, фигуркам, каким-то простым изображениям. Их обычно используют для нанесения одинаковых букв и цифр (одного шрифта и размера) на большое количество поверхностей.

Создать свой уникальный трафарет сегодня не так сложно (разумеется, когда речь не идет о каких-то профессиональных художественных работах). В этой заметке я приведу пару способов по созданию простеньких трафаретов в домашних условиях (как из букв, так и из картинок).

Примечание: для нашей работы нам понадобиться программа Microsoft Word (или ее аналог), принтер (желательно), маникюрные ножницы и немного свободного времени.

Пошаговое создание трафарета

Из букв / цифр

ШАГ 1: выбор и установка шрифта

И так, это, пожалуй, первое, с чего нужно начать. По умолчанию в Windows с одной стороны достаточно много шрифтов, с другой — трафаретных из них пару штук…

Найти достаточно хорошие и красивые шрифты можно на специализированных сайтах:

Эти сайты хороши прежде всего тем, что на них много бесплатных шрифтов, плюс к этому при загрузке вы получаете файл формата OTF/TTF, на который достаточно кликнуть правой кнопкой мышки – и его сразу же можно установить в систему. См. скрины ниже. Удобно!

В помощь!

Как добавить новый шрифт в Windows — https://ocomp.info/dobavit-novyiy-shrift-v-windows.html

ШАГ 2: распечатка шаблона

Далее набираем в Word (или другом текстовом редакторе) необходимый текст (буквы) и распечатываем на принтере. Обратите внимание, что очень желательно выбрать спец. шрифт (иначе при дальнейшем вырезании вы можете столкнуться с некоторыми проблемами… ��).

шаблон (обратите внимание на шрифт – у буквы “O” есть спец. засечки)

ШАГ 3: вырезка — создание трафарета

После этого есть десятки путей, как сделать трафарет:

  1. вариант 1: вырезать обычными маникюрными ножницами распечатанный текст (см. пример на фото ниже). Подобный трафарет слишком “мягкий” и годится только в определенных случаях, например, для нанесения текста с помощью баллончика с краской;
  2. вариант 2: можно наклеить наш шаблон на картон, а потом вырезать буквы с помощью канцелярского ножа. Получится более плотный вариант трафарета;
  3. вариант 3: вместо приклейки шаблона к картону (или пластику) можно использовать копирку;
  4. вариант 4: воспользоваться плоттером (за относительно небольшие деньги ваш трафарет могут “вырезать” из пленки или жесткого картона на плоттере).

Из картинки/изображения

ШАГ 1: поиск изображения

Сразу хочу предупредить, что изображение под трафарет необходимо спец. образом подобрать. Лучше всего, если это будет очень простая почти однотонная фигурка (обычно такие делают с помощью векторной графики). Ниже я привел простой пример, чтобы было понятно, о чем идет речь…

Слева – подойдет, справа – не подойдет

В любом случае, попробовать можно с любой, а если не устроит результат – поискать новую…��

Для поиска картинок можно воспользоваться либо Google (Yandex), либо (что мне больше импонирует) спец. сервисами, типа pixabay (на этом сайте собраны тысячи бесплатных картинок на самые разные темы). Лучше сразу загрузите 2-3 картинки (чтобы было из чего выбрать).

Скриншот с сайта pixabay

ШАГ 2: форматирование изображения

Далее запускаем Word, переходим в меню “Вставка/рисунки” и добавляем загруженные изображения.

После выбираем картинку, нажав по ней левой кнопкой мышки — в верхнем меню появится возможность открыть вкладку “Формат”, а в ней изменить цветность на черно-белую (50%).

В итоге должна получиться однотонная картинка (наподобие той, что на скриншоте ниже).

ШАГ 3: распечатка и вырезка

Собственно, далее нужно подкорректировать размер картинки (изменить ширину/высоту).

Изменение размера картинки

Рекомендую также изменить стиль картинки (делается в том же меню “Формат”). Например, сейчас достаточно популярны знаки и логотипы, обведенные в круг (пример ниже). Почему бы не сделать такой трафарет?!

Меняем стиль рисунка

После того, как картинка окончательно готова, ее можно:

  1. распечатать на обычном принтере и вырезать всё “черное” на ней с помощью маникюрных ножниц. Такой трафарет быстро износится, но если вам будет достаточно использовать его 2-3 раза, то почему нет?
  2. распечатать лист и приклеить его к картону, после с помощью ножниц или канцелярского ножа вырезать “черные контуры”. Трафарет получится более жесткий;
  3. изготовить на плоттере (схема примерно такая: вы подготавливаете шаблон, скидываете его в спец. контору, и они вам за небольшие деньги вырезают с помощью плоттера ваш трафарет на картоне или пленке).

В общем-то, работа строится аналогично трафарету из букв и цифр…

Если вы использовали другие способы – дополните в комментариях…

Отличное ПО для начала создания своих собственных видеороликов (все действия идут по шагам!).
Видео сделает даже новичок!

    Ускоритель компьютера

    Программа для очистки Windows от мусора (ускоряет систему, удаляет мусор, оптимизирует реестр).

бесплатных круглых шаблонов для печати – большие и маленькие трафареты

Я думаю, что сегодня я более взволнован, чем когда впервые представил свои шаблоны в форме сердца в блоге.

Сегодня у меня есть тонна различных БЕСПЛАТНЫХ шаблонов кругов для печати , которые вы можете распечатать!

Что в них такого крутого, так это то, что у них безграничный потенциал. Я уже использовал их примерно в 7 различных поделках и могу придумать еще около 100 способов их использования.

Я решил сделать свои круги разного размера, потому что я часто беру случайные круглые объекты, такие как кружка или пластиковая крышка, чтобы служить шаблоном для поделок.Теперь я могу просто найти шаблон точного размера, который мне нужен, вместо того, чтобы искать шаблон круга!

Эти фигуры можно бесплатно загрузить и распечатать. Просто убедитесь, что вы ПИН-код одного из изображений на этой странице (с помощью красной кнопки Pinterest внизу страницы) как напоминание, где вы нашли эти формы круга! Вы будете нуждаться в них снова и снова!

Иногда вам просто нужен шаблон сверхбольшого круга.Этот вырезанный отпечаток печатается на полноразмерном листе бумаги.

Просто щелкните изображение, чтобы загрузить его в формате PDF и сохранить на свой компьютер:

Шаблон огромного круга (диаметр 7 ″) (щелкните изображение, чтобы загрузить)

Два больших Круговые узоры на одной странице (диаметр 5 дюймов) (щелкните изображение, чтобы загрузить)

Если у вас есть проект, который требует многократного повторения одного и того же узора, вот полная страница среднего и круги поменьше.

В первой загрузке есть два 4-дюймовых круга на всякий случай, когда вам понадобится круглый шаблон трассировки. Второй – набор из 6 трехдюймовых контуров малых и средних кругов.

Печатный средний 4-дюймовый круговой узор (щелкните изображение, чтобы загрузить)

6 контуров круга (диаметр 3 дюйма) (щелкните изображение, чтобы загрузить)

Пожалуй, эта моя любимая печатная версия.Это набор из 12 крошечных кругов диаметром 2 дюйма для печати. Моя подруга Сайра отметила, что они идеально подходят для любого проекта, требующего использования точек в горошек или больших кусочков конфетти. Думаю, они идеально подойдут к Новому году или даже внутри пиньята. Я их люблю!

Печатные контуры кругов 2 дюйма (диаметр 2 дюйма) (щелкните изображение, чтобы загрузить)

Наконец, у меня есть один лист бумаги, содержащий круги четырех разных размеров. Иногда я не знаю, какой именно размер мне нужен, прежде чем начать проект.Этот лист идеально подходит для этого. Они обозначены в дюймах, поэтому вы легко найдете нужный размер.

Шаблоны кругов 4, 3, 2 и 1 дюйма (щелкните изображение, чтобы загрузить)

Я чувствую, что мне нужны формы круга для проектов примерно раз в месяц. Вот способы, которыми я использовал эти шаблоны кругов или представляю, что могу использовать их в ближайшем будущем:

  • Используйте маленькие круги для любого проекта , который требует горошек
  • Используйте маленькие круги для фонов плаката в стиле конфетти
  • Используйте средние круги для этикеток для банок или этикеток на классных досках любого типа
  • Используйте большие круглые формы в качестве трафаретов для вырезания круглых изображений для альбомов
  • Простое вырезание или отслеживание Тихая активность для малышей
  • Милый круглый баннер для вечеринки по случаю дня рождения
  • В качестве основы для милого домашнего рождественского украшения
  • Распечатайте стопку кругов среднего размера 3 или 4 дюйма и uустановите их вместо блокнотов
  • Уникальный день рождения или Рождество подарочные бирки
  • Схема украшения торта в качестве руководства по нанесению брызг или цветной сахар

Есть еще SOOO способов использовать эти печатные круговые трафареты.Для чего вы их будете использовать?

Вот еще несколько вырезок, которые могут вам понравиться:

Шаблоны в форме сердца большого и маленького размера

Печатные шаблоны снежинок

Шаблоны радуги

Список дел на неделю для печати

7 кухонных гаджетов, о которых вы не знали до сих пор!

Раскраски принцесс Диснея

шаблонов кругов | Шаблоны пустых форм

Если вы работаете над творческим ремеслом или школьным проектом и вам нужен шаблон круга для печати, это то место, где вам нужно. Эта страница содержит коллекцию бесплатных шаблонов кругов с несколькими размерами на выбор. Шаблоны с кругами помещаются на странице размером 8,5 x 11 дюймов и сохраняются в виде файла PDF для вашего удобства. Нажмите на изображения ниже, чтобы перейти на страницу загрузки шаблона.

Деление окружности на 6 частей

Есть 6 шаблонов на выбор.Первый шаблон содержит набор кругов диаметром 1 дюйм. Они могут быть полезны как счетчики для печати, игровые деньги для детей или как жетоны для самодельной игры. Следующий шаблон круга содержит 2-дюймовые круги, которые будут хорошо работать в качестве ярлыков с именами, если они напечатаны на наклейке. Третья страница содержит круги диаметром 3 дюйма, подходящий размер для создания собственных круглых штампов. На четвертой странице есть 4-дюймовые круги, которые могут быть полезны, если вы делаете подставки для напитков. Далее идет шаблон круга диаметром 8 дюймов, подходящий размер для каракулей и рисунков, а также знаки для печати.Круглые трафареты – полезные инструменты для рисования. Наконец, если вам нужен шаблон для другой формы, посетите страницу шаблонов геометрических фигур.

бесплатных печатных шаблонов кругов

1-дюймовых кругов2-дюймовых кругов3-дюймовых кругов4-дюймовых кругов5-дюймовых круговых шаблонов8-дюймовых кругов.

Бесплатные рабочие листы для площади, окружности, диаметра и радиуса окружности

Вы здесь: Главная → Рабочие листы → Круг

Этот генератор создает рабочие листы для вычисления радиуса, диаметра, длины окружности или площади круга, если задан один из них (задан радиус, диаметр, окружность или площадь). Они могут быть выполнены в форматах PDF или html.

Вариантов множество: вы можете выбрать метрические или обычные единицы измерения или и то, и другое, вы можете включать или не включать простые изображения кругов в задачи или случайным образом позволить некоторым задачам иметь изображение круга, а некоторым нет.Вы также можете выбрать 3,14 или 3,1416 в качестве значения Пи в расчетах, а затем выбрать точность округления для ответов. Измените различные параметры, чтобы увидеть, каков их эффект.

После того, как вы создали рабочий лист, вы можете просто обновить страницу из окна браузера (или нажать F5), чтобы получить другой рабочий лист с другими проблемами, но с теми же параметрами.

Все рабочие листы имеют ключ ответа. Вы можете распечатать рабочий лист прямо из браузера или сохранить его на диск с помощью команды «Сохранить как» в браузере.Если проблемы на листе не умещаются на странице или на нем недостаточно рабочего места, выберите меньший шрифт, меньше полей для ячеек или меньшее количество столбцов с проблемами.

Примеры рабочих листов (окружность, диаметр, радиус, площадь круга)

Колонны:
Ряды:
(Они определяют количество проблем)

Рабочее пространство: пустых строк

Используйте метрические единиц (мм, см, м, км, мм 2 , см 2 , м 2 , км 2 )
Используйте обычные единиц (дюймы, футы, ярды, мили, дюймы 2 , футы 2 , ярды 2 , mi 2 )

Используйте Pi = 3.14 в расчетах
Используйте в расчетах Pi = 3,1416
В расчетах используйте Pi = 3,14159265

Округлите ответ до десятичных цифр

Используйте изображения круга во всех задачах.
Не используйте изображения кругов ни в каких задачах.
Используйте изображения круга в некоторых задачах (случайным образом).

Выберите типы проблем. Отметьте хотя бы один квадрат.

Радиус указан. Рассчитайте диаметр круга.
Дана окружность.Рассчитайте диаметр круга.
Площадь дана. Рассчитайте диаметр круга.

Диаметр указан. Рассчитайте радиус круга.
Дана окружность. Рассчитайте радиус круга.
Площадь дана. Рассчитайте радиус круга.

Радиус указан. Рассчитайте длину окружности круга.
Диаметр указан. Рассчитайте длину окружности круга.
Площадь дана.Рассчитайте длину окружности круга.

Радиус указан. Найдите площадь круга.
Диаметр указан. Найдите площадь круга.
Дана окружность. Найдите площадь круга.

Окружность (периметр) круга с калькулятором

Окружность (периметр) круга с калькулятором – Math Open Reference

Расстояние по краю круга. Также «периферия», «периметр».

Попробуйте это Перетащите оранжевые точки, чтобы переместить и изменить размер круга. Окружность показана синим цветом.
Обратите внимание, что радиус изменяется, и длина окружности рассчитывается для этого радиуса.

Иногда вы видите слово «окружность» в значении изогнутой линии, идущей по кругу.В других случаях это означает длину этой линии, например, «окружность составляет 2,11 см».

Иногда используется слово «периметр», хотя обычно оно относится к расстоянию вокруг многоугольников,
фигуры, составленные из отрезков прямых линий.

Если известен радиус

Учитывая радиус круга,
окружность можно рассчитать по формуле

где:
R – радиус окружности
π – Пи, приблизительно 3,142

См. Также вывод формулы окружности

Если известен диаметр

Если известен диаметр окружности, длина окружности может быть найдена по формуле
, где:
D – диаметр окружности
π – Пи, приблизительно 3.142

См. Также вывод формулы окружности

Если вы знаете район

Если вам известна площадь круга, длину окружности можно найти по формуле
, где:
A – площадь круга
π – Пи, приблизительно 3,142

См. Также вывод формулы окружности

Калькулятор

Воспользуйтесь калькулятором выше, чтобы вычислить свойства круга.

Введите любое одно значение, и остальные три будут рассчитаны.Например: введите радиус и нажмите «Рассчитать». Будут рассчитаны площадь, диаметр и окружность.

Точно так же, если вы войдете в область, будет вычислен радиус, необходимый для получения этой области, а также диаметр и окружность.

Сопутствующие меры

  • Радиус
    Радиус – это расстояние от центра круга до любой точки периметра.
    См. Радиус круга.
  • Диаметр
    Расстояние по окружности.Видеть
    Диаметр круга больше.

Другие темы кружка

Общий

Уравнения окружности

Углы по окружности

(C) Открытый справочник по математике, 2022 г.

Комплексные числа для чайников

Не занимайтесь комплексными числами после комплексного обеда

На данном уроке мы познакомимся с понятием комплексного числа, рассмотрим алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня.

Не беспокойтесь, я вас напугал, я вас и рассмешу. Для освоения комплексных чисел не требуется каких-то специальных знаний из курса высшей математики, и материал доступен даже школьнику. Достаточно уметь выполнять основные алгебраические действия с «обычными» числами и немного рубить в тригонометрии. Впрочем, если что позабылось,
я напомню.

Урок состоит из следующих параграфов:

  • понятие комплексного числа;
  • алгебраическая форма комплексного числа, тут же сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел;
  • тригонометрическая и показательная форма комплексного числа;
  • возведение комплексных чисел в степень, формула Муавра;
  • извлечение корней из комплексных чисел, квадратное уравнение с комплексными корнями.

На любой вкус и цвет – кому, что интересно. А комплексные числа действительно становятся любимой темой. после того, как студенты знакомятся с другими разделами высшей алгебры =). Если Вы являетесь чайником, или только-только приступили к изучению комплексных чисел, то параграфы лучше прочитать по порядку, без «перескоков».

Сначала «поднимем» информацию об «обычных» школьных числах. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой (в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Все действительные числа сидят на знакомой числовой прямой:

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой прямой обязательно соответствует некоторое действительное число.

Понятие комплексного числа

Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве.

Если хотите, комплексное число – это двумерное число. Оно имеет вид , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью ( ) комплексного числа , число называется мнимой частью ( ) комплексного числа .

– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:

Чтобы всё было понятнее, сразу приведу геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей:
– действительная ось
– мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе координат (см. Графики и свойства элементарных функций). По осям нужно задать масштаб, отмечаем:

единицу по действительной оси;

мнимую единицу по мнимой оси.

Не нужно проставлять все значения: …–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3,… и .

Да чего тут мелочиться, рассмотрим чисел десять.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа:
, ,
, ,
, , ,

По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.

Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел .

Числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью.

Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому что они сливаются с осями.

Алгебраическая форма комплексного числа.
Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел

С алгебраической формой комплексного числа мы уже познакомились, – это и есть алгебраическая форма комплексного числа. Почему речь зашла о форме? Дело в том, что существуют еще тригонометрическая и показательная форма комплексных чисел, о которых пойдет речь в следующем параграфе.

Действия с комплексными числами не представляют особых сложностей и мало чем отличаются от обычной алгебры.

Сложение комплексных чисел

Сложить два комплексных числа ,

Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:

Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.

Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.

Для комплексных чисел справедливо правило первого класса: – от перестановки слагаемых сумма не меняется.

Вычитание комплексных чисел

Найти разности комплексных чисел и , если ,

Длина окружности. Математика 6 класс.

Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:

Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так: .

Рассчитаем вторую разность:

Здесь действительная часть тоже составная:

Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.

Умножение комплексных чисел

Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:

Найти произведение комплексных чисел ,

Очевидно, что произведение следует записать так:

Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным.

Повторим, omg, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.

Я распишу подробно:

Надеюсь, всем было понятно, что

Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.

Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .

В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.

Деление окружности на 5 частей с помощью циркуля

Деление комплексных чисел

Даны комплексные числа , . Найти частное .

Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение.

Геометрия 7 Окружность Построения циркулем и линейкой

Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на наш знаменатель: . В знаменателе уже есть , поэтому сопряженным выражением в данном случае является , то есть

Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число :

Далее в числителе нужно раскрыть скобки (перемножить два числа по правилу, рассмотренному в предыдущем пункте). А в знаменателе воспользоваться формулой (помним, что и не путаемся в знаках. ).

Деление окружности на пять равных частей. Урок 7. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Пример я подобрал «хороший», если взять два числа «от балды», то в результате деления почти всегда получатся дроби, что-нибудь вроде .

В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусы за скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:

Редко, но встречается такое задание:

Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме ).

Деление окружности на равные части

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть , поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение , то есть на :

Даны два комплексных числа , . Найти их сумму, разность, произведение и частное.

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

На практике запросто могут предложить навороченный пример, где нужно выполнить много действий с комплексными числами. Никакой паники: будьте внимательны, соблюдайте правила алгебры, обычный алгебраический порядок действий, и помните, что

Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа

В данном параграфе больше речь пойдет о тригонометрической форме комплексного числа. Показательная форма в практических заданиях встречается значительно реже. Рекомендую закачать и по возможности распечатать тригонометрические таблицы, методический материал можно найти на странице Математические формулы и таблицы. Без таблиц далеко не уехать.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в тригонометрической форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа. Не разбегаемся, всё проще, чем кажется.

Изобразим на комплексной плоскости число . Для определённости и простоты объяснений расположим его в первой координатной четверти, т.е. считаем, что :

Модулем комплексного числа называется расстояние от начала координат до соответствующей точки комплексной плоскости. Попросту говоря, модуль – это длина радиус-вектора, который на чертеже обозначен красным цветом.

Модуль комплексного числа стандартно обозначают: или

По теореме Пифагора легко вывести формулу для нахождения модуля комплексного числа: . Данная формула справедлива для любых значений «а» и «бэ».

Примечание: модуль комплексного числа представляет собой обобщение понятия модуля действительного числа, как расстояния от точки до начала координат.

Аргументом комплексного числа называется угол между положительной полуосью действительной оси и радиус-вектором, проведенным из начала координат к соответствующей точке. Аргумент не определён для единственного числа: .

Рассматриваемый принцип фактически схож с полярными координатами, где полярный радиус и полярный угол однозначно определяют точку.

Аргумент комплексного числа стандартно обозначают: или

Из геометрических соображений получается следующая формула для нахождения аргумента:
. Внимание! Данная формула работает только в правой полуплоскости! Если комплексное число располагается не в 1-й и не 4-й координатной четверти, то формула будет немного другой. Эти случаи мы тоже разберем.

Но сначала рассмотрим простейшие примеры, когда комплексные числа располагаются на координатных осях.

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .
Выполним чертёж:

На самом деле задание устное. Для наглядности перепишу тригонометрическую форму комплексного числа:

Запомним намертво, модуль – длина (которая всегда неотрицательна), аргумент – угол.

1) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (число лежит непосредственно на действительной положительной полуоси). Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Ясно, как день, обратное проверочное действие:

2) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (или 90 градусов). На чертеже угол обозначен красным цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

Используя таблицу значений тригонометрических функций, легко обратно получить алгебраическую форму числа (заодно выполнив проверку):

3) Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .
Очевидно, что (или 180 градусов). На чертеже угол обозначен синим цветом. Таким образом, число в тригонометрической форме: .

4) И четвёртый интересный случай. Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. Очевидно, что . Формальный расчет по формуле: .

Аргумент можно записать двумя способами: Первый способ: (270 градусов), и, соответственно: . Проверка:

Однако более стандартно следующее правило: Если угол больше 180 градусов, то его записывают со знаком минус и противоположной ориентацией («прокруткой») угла: (минус 90 градусов), на чертеже угол отмечен зеленым цветом. Легко заметить, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, запись принимает вид:

Внимание! Ни в коем случае нельзя использовать четность косинуса, нечетность синуса и проводить дальнейшее «упрощение» записи:

Кстати, полезно вспомнить внешний вид и свойства тригонометрических и обратных тригонометрических функций, справочные материалы находятся в последних параграфах страницы Графики и свойства основных элементарных функций. И комплексные числа усвоятся заметно легче!

В оформлении простейших примеров так и следует записывать: «очевидно, что модуль равен… очевидно, что аргумент равен. ». Это действительно очевидно и легко решается устно.

Перейдем к рассмотрению более распространенных случаев. Как я уже отмечал, с модулем проблем не возникает, всегда следует использовать формулу . А вот формулы для нахождения аргумента будут разными, это зависит от того, в какой координатной четверти лежит число . При этом возможны три варианта (их полезно переписать к себе в тетрадь):

1) Если (1-я и 4-я координатные четверти, или правая полуплоскость), то аргумент нужно находить по формуле .

2) Если (2-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

3) Если (3-я координатная четверть), то аргумент нужно находить по формуле .

Представить в тригонометрической форме комплексные числа: , , , .

Коль скоро есть готовые формулы, то чертеж выполнять не обязательно. Но есть один момент: когда вам предложено задание представить число в тригонометрической форме, то чертёж лучше в любом случае выполнить. Дело в том, что решение без чертежа часто бракуют преподаватели, отсутствие чертежа – серьёзное основание для минуса и незачета.

Эх, сто лет от руки ничего не чертил, держите:

Как всегда, грязновато получилось =)

Я представлю в комплексной форме числа и , первое и третье числа будут для самостоятельного решения.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку (случай 2), то – вот здесь нечетностью арктангенса воспользоваться нужно. К сожалению, в таблице отсутствует значение , поэтому в подобных случаях аргумент приходится оставлять в громоздком виде:
– число в тригонометрической форме.

Расскажу о забавном способе проверки. Если вы будете выполнять чертеж на клетчатой бумаге в том масштабе, который у меня (1 ед. = 1 см), то можно взять линейку и измерить модуль в сантиметрах. Если есть транспортир, то можно непосредственно по чертежу измерить и угол.

Перечертите чертеж в тетрадь и измерьте линейкой расстояние от начала координат до числа . Вы убедитесь, что действительно . Также транспортиром можете измерить угол и убедиться, что действительно .

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент.

Поскольку (случай 1), то (минус 60 градусов).

Таким образом:
– число в тригонометрической форме.

А вот здесь, как уже отмечалось, минусы не трогаем.

Кроме забавного графического метода проверки, существует и проверка аналитическая, которая уже проводилась в Примере 7. Используем таблицу значений тригонометрических функций, при этом учитываем, что угол – это в точности табличный угол (или 300 градусов):
– число в исходной алгебраической форме.

Числа и представьте в тригонометрической форме самостоятельно. Краткое решение и ответ в конце урока.

В конце параграфа кратко о показательной форме комплексного числа.

Любое комплексное число (кроме нуля) можно записать в показательной форме:
, где – это модуль комплексного числа, а – аргумент комплексного числа.

Что нужно сделать, чтобы представить комплексное число в показательной форме? Почти то же самое: выполнить чертеж, найти модуль и аргумент. И записать число в виде .

Например, для числа предыдущего примера у нас найден модуль и аргумент: , . Тогда данное число в показательной форме запишется следующим образом: .

Число в показательной форме будет выглядеть так:

Единственный совет – не трогаем показатель экспоненты, там не нужно переставлять множители, раскрывать скобки и т.п. Комплексное число в показательной форме записывается строго по форме .

Возведение комплексных чисел в степень

Начнем со всеми любимого квадрата.

Возвести в квадрат комплексное число

Здесь можно пойти двумя путями, первый способ это переписать степень как произведение множителей и перемножить числа по правилу умножения многочленов.

Второй способ состоит в применении известной школьной формулы сокращенного умножения :

Для комплексного числа легко вывести свою формулу сокращенного умножения:
. Аналогичную формулу можно вывести для квадрата разности, а также для куба суммы и куба разности. Но эти формулы более актуальны для задач комплексного анализа, поэтому на данном уроке я воздержусь от подробных выкладок.

Что делать, если комплексное число нужно возвести, скажем, в 5-ю, 10-ю или 100-ю степень? Ясно, что в алгебраической форме проделать такой трюк практически невозможно, действительно, подумайте, как вы будете решать пример вроде ?

И здесь на помощь приходит тригонометрическая форма комплексного числа и, так называемая, формула Муавра: Если комплексное число представлено в тригонометрической форме , то при его возведении в натуральную степень справедлива формула:

Данная формула следует из правила умножения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме: чтобы найти произведение чисел , нужно перемножить их модули и сложить аргументы:

Аналогично для показательной формы: если , то:

Просто до безобразия.

Дано комплексное число , найти .

Что нужно сделать? Сначала нужно представить данное число в тригонометрической форме. Внимательные читатели заметили, что в Примере 8 мы это уже сделали:

Тогда, по формуле Муавра:

Упаси боже, не нужно считать на калькуляторе , а вот угол в большинстве случае следует упростить. Как упростить? Образно говоря, нужно избавиться от лишних оборотов. Один оборот составляет радиан или 360 градусов. Выясним сколько у нас оборотов в аргументе . Для удобства делаем дробь правильной: , после чего становится хорошо видно, что можно убавить один оборот: . Надеюсь всем понятно, что и – это один и тот же угол.

Таким образом, окончательный ответ запишется так:

Любители стандартов везде и во всём могут переписать ответ в виде:
(т.е. убавить еще один оборот и получить значение аргумента в стандартном виде).

Хотя – ни в коем случае не ошибка.

Дано комплексное число , найти . Полученный аргумент (угол) упростить, результат представить в алгебраической форме.

Это пример для самостоятельного решения, полное решение и ответ в конце урока.

Отдельная разновидность задачи возведения в степень – это возведение в степень чисто мнимых чисел.

Возвести в степень комплексные числа , ,

Здесь тоже всё просто, главное, помнить знаменитое равенство.

Если мнимая единица возводится в четную степень, то техника решения такова:

Если мнимая единица возводится в нечетную степень, то «отщипываем» одно «и», получая четную степень:

Если есть минус (или любой действительный коэффициент), то его необходимо предварительно отделить:

Возвести в степень комплексные числа ,

Это пример для самостоятельного решения.

Извлечение корней из комплексных чисел.
Квадратное уравнение с комплексными корнями

Наконец-то. Меня всю дорогу подмывало привести этот маленький примерчик:

Нельзя извлечь корень? Если речь идет о действительных числах, то действительно нельзя. В комплексных числах извлечь корень – можно! А точнее, два корня:

Действительно ли найденные корни являются решением уравнения ? Выполним проверку:

Что и требовалось проверить.

Часто используется сокращенная запись, оба корня записывают в одну строчку под «одной гребёнкой»: .

Такие корни также называют сопряженными комплексными корнями.

Как извлекать квадратные корни из отрицательных чисел, думаю, всем понятно: , , , , и т.д. Во всех случаях получается два сопряженных комплексных корня.

О том, как извлечь квадратный корень из комплексного числа с ненулевой мнимой частью, я расскажу чуть позже, а пока нечто знакомое:

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

Решить квадратное уравнение

Дискриминант отрицателен, и в действительных числах уравнение решения не имеет. Но корень можно извлечь в комплексных числах!

По известным формулам получаем два корня:

– сопряженные комплексные корни

Таким образом, уравнение имеет два сопряженных комплексных корня: ,

Нетрудно понять,что в поле комплексных чисел «школьное» квадратное уравнение всегда при двух корнях! И вообще, любое уравнение вида имеет ровно комплексных корней, часть которых (или все) могут быть действительными.

Простой пример для самостоятельного решения:

Найти корни уравнения и разложить квадратный двучлен на множители.

Разложение на множители осуществляется опять же по стандартной школьной формуле. Но на этом тема не закрыта! Совсем скоро вы будете уверенно решать квадратные уравнения с комплексными коэффициентами (которые не являются действительными).

Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при получается квадратный корень . Что касается именно квадратного корня, то он успешно извлекается и «алгебраическим» методом, который рассмотрен на уроке Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами. Но то позже – здесь и сейчас мы познакомимся с универсальным способом, пригодным для произвольного «эн»:

Уравнение вида имеет ровно корней , которые можно найти по формуле:
, где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения:

Найти корни уравнения

Деление окружности на равные части с помощью циркуля

Перепишем уравнение в виде

В данном примере , , поэтому уравнение будет иметь два корня: и .
Общую формулу можно сразу немножко детализировать:
,

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :

Число располагается в первой четверти, поэтому:

Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.

Еще более детализируем формулу:
,

На чистовик так подробно оформлять, конечно, не нужно, это сделано мной для того, чтобы вам было понятно, откуда что взялось.

Подставляя в формулу значение , получаем первый корень:

Подставляя в формулу значение , получаем второй корень:

Ответ: ,

При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.

Следует отметить, что на практике аргумент подкоренного числа может оказаться не так «хорош», как в рассмотренном примере. В этом случае для извлечения квадратного корня лучше использовать упомянутый выше «алгебраический» метод.

И напоследок рассмотрим задание-«хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени: .

Найти корни уравнения , где

Сначала представим уравнение в виде :

Обозначим привычной формульной буквой: .
Таким образом, требуется найти корни уравнения

В данном примере , а значит, уравнение имеет ровно три корня: , ,
Детализирую общую формулу:
,

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число располагается во второй четверти, поэтому:

Еще раз детализирую формулу:
,
Корень удобно сразу же упростить:

Подставляем в формулу значение и получаем первый корень:

Подставляем в формулу значение и получаем второй корень:

Подставляем в формулу значение и получаем третий корень:

Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:

Как выполнить чертеж?
Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.

Теперь берем аргумент первого корня и выясняем, чему равняется угол в градусах: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку .

Берем аргумент второго корня и переводим его в градусы: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку .

По такому же алгоритму строится точка

Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира. Если вы отмерите углы «на глазок», то рецензент легко это заметит и процентов 90-95 поставит минус за чертеж.

Уравнения четвертого и высших порядков встречаются крайне редко, если честно, я даже не припомню случая, когда мне пришлось их решать. В этой связи ограничусь рассмотренными примерами.

Чтобы закрепить материал и узнать много нового, обязательно приходите на практикум Выражения, уравнения и системы уравнений с комплексными числами – будет жарко!

Решения и ответы:

Пример 8: Решение:
Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку (случай 1), то . Таким образом: – число в тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме число . Найдем его модуль и аргумент. . Поскольку (случай 3), то . Таким образом: – число в тригонометрической форме.

Пример 11: Решение: Представим число в тригонометрической форме: (это число Примера 8). Используем формулу Муавра :

Пример 13: Решение:

Пример 15: Решение:

,
Разложим квадратный двучлен на множители:

Векторы для чайников. Действия с векторами.
Координаты вектора. Простейшие задачи с векторами

Наконец-то у меня добрались руки до обширной и долгожданной темы аналитической геометрии. Сначала немного о данном разделе высшей математики…. Наверняка вам сейчас вспомнился курс школьной геометрии с многочисленными теоремами, их доказательствами, чертежами и т.д. Что скрывать, нелюбимый и часто малопонятный предмет для значительной доли учеников. Аналитическая геометрия, как ни странно, может показаться более интересной и доступной. Что означает прилагательное «аналитическая»? На ум сразу приходят два штампованных математических оборота: «графический метод решения» и «аналитический метод решения». Графический метод, понятно, связан с построением графиков, чертежей. Аналитический же метод предполагает решение задач преимущественно посредством алгебраических действий. В этой связи алгоритм решений практически всех задач аналитической геометрии прост и прозрачен, зачастую достаточно аккуратно применить нужные формулы – и ответ готов! Нет, конечно, совсем без чертежей тут не обойдется, к тому же для лучшего понимания материала я постараюсь приводить их сверх необходимости.

Открываемый курс уроков по геометрии не претендует на теоретическую полноту, он ориентирован на решение практических задач. Я включу в свои лекции только то, что с моей точки зрения, является важным в практическом плане. Если вам необходима более полная справка по какому-либо подразделу, рекомендую следующую вполне доступную литературу:

1) Вещь, с которой, без шуток, знакомо несколько поколений: Школьный учебник по геометрии, авторы – Л.С. Атанасян и Компания. Сия вешалка школьной раздевалки уже выдержала 20 (!) переизданий, что, конечно, не является пределом.

2) Геометрия в 2 томах. Авторы Л.С. Атанасян, Базылев В.Т. Это литература для высшей школы, вам потребуется первый том. Из моего поля зрения могут выпадать редко встречающиеся задачи, и учебное пособие окажет неоценимую помощь.

Из инструментальных средств предлагаю собственную разработку – программный комплекс по аналитической геометрии, который значительно упростит жизнь и сэкономит массу времени.

Предполагается, что читатель знаком с базовыми геометрическими понятиями и фигурами: точка, прямая, плоскость, треугольник, параллелограмм, параллелепипед, куб и т.д. Желательно помнить некоторые теоремы, хотя бы теорему Пифагора, привет второгодникам)

А сейчас мы последовательно рассмотрим: понятие вектора, действия с векторами, координаты вектора. Далее рекомендую прочитать важнейшую статью Скалярное произведение векторов, а также Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов и Векторное и смешанное произведение векторов. Не лишней будет и локальная задача – Деление отрезка в данном отношении. На основе вышеуказанной информации можно освоить уравнение прямой на плоскости с простейшими примерами решений, что позволит научиться решать задачи по геометрии. Также полезны следующие статьи: Уравнение плоскости в пространстве, Уравнения прямой в пространстве, Основные задачи на прямую и плоскость, другие разделы аналитической геометрии. Естественно, попутно будут рассматриваться типовые задания.

Более того, по материалам сайта создана книга!

. да, это свершилось! – освойте азы теории и научитесь решать в кратчайшие сроки! Спасибо за поддержку проекта.

Понятие вектора. Свободный вектор

Сначала повторим школьное определение вектора. Вектором называется направленный отрезок, для которого указано его начало и конец:

В данном случае началом отрезка является точка , концом отрезка – точка . Сам вектор обозначен через . Направление имеет существенное значение, если переставить стрелку в другой конец отрезка, то получится вектор , и это уже совершенно другой вектор. Понятие вектора удобно отождествлять с движением физического тела: согласитесь, зайти в двери института или выйти из дверей института – это совершенно разные вещи.

Отдельные точки плоскости, пространства удобно считать так называемым нулевым вектором . У такого вектора конец и начало совпадают.

. Примечание: Здесь и далее можете считать, что векторы лежат в одной плоскости или можете считать, что они расположены в пространстве – суть излагаемого материала справедлива и для плоскости и для пространства.

Обозначения: Многие сразу обратили внимание на палочку без стрелочки в обозначении и сказали, там же вверху еще стрелку ставят! Верно, можно записать со стрелкой: , но допустима и запись , которую я буду использовать в дальнейшем. Почему? Видимо, такая привычка сложилась из практических соображений, слишком разнокалиберными и мохнатыми получались мои стрелки в школе и ВУЗе. В учебной литературе иногда вообще не заморачиваются клинописью, а выделяют буквы жирным шрифтом: , подразумевая тем самым, что это вектор.

То была стилистика, а сейчас о способах записи векторов:

1) Векторы можно записать двумя большими латинскими буквами:
и так далее. При этом первая буква обязательно обозначает точку-начало вектора, а вторая буква – точку-конец вектора.

2) Векторы также записывают маленькими латинскими буквами:
В частности, наш вектор можно для краткости переобозначить маленькой латинской буквой .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка . Длина нулевого вектора равна нулю. Логично.

Длина вектора обозначается знаком модуля: ,

Как находить длину вектора мы узнаем (или повторим, для кого как) чуть позже.

То были элементарные сведения о векторе, знакомые всем школьникам. В аналитической же геометрии рассматривается так называемый свободный вектор.

Если совсем просто – вектор можно отложить от любой точки:

Такие векторы мы привыкли называть равными (определение равных векторов будет дано ниже), но чисто с математической точки зрения это ОДИН И ТОТ ЖЕ ВЕКТОР или свободный вектор. Почему свободный? Потому что в ходе решения задач вы можете «пристроить» тот или иной «школьный» вектор в ЛЮБУЮ, нужную вам точку плоскости или пространства. Это очень крутое свойство! Представьте направленный отрезок произвольной длины и направления – его можно «клонировать» бесконечное количество раз и в любой точке пространства, по сути, он существует ВЕЗДЕ. Есть такая студенческая присказка: Каждому лектору в ж**у по вектору. Ведь не просто остроумная рифма, всё почти корректно – направленный отрезок можно пристроить и туда. Но не спешите радоваться, чаще страдают сами студенты =)

Итак, свободный вектор – это множество одинаковых направленных отрезков. Школьное определение вектора, данное в начале параграфа: «Вектором называется направленный отрезок…», подразумевает конкретный направленный отрезок, взятый из данного множества, который привязан к определённой точке плоскости или пространства.

Следует отметить, что с точки зрения физики понятие свободного вектора в общем случае некорректно, и точка приложения имеет значение. Действительно, прямой удар одинаковой силы по носу или по лбу хватит развивать мой дурацкий пример влёчет разные последствия. Впрочем, несвободные векторы встречаются и в курсе вышмата (не ходите туда :)).

Далее, если не оговаривается иное, речь пойдёт только о свободных векторах.

Действия с векторами. Коллинеарность векторов

В школьном курсе геометрии рассматривается ряд действий и правил с векторами: сложение по правилу треугольника, сложение по правилу параллелограмма, правило разности векторов, умножения вектора на число, скалярное произведение векторов и др. Для затравки повторим два правила, которые особенно актуальны для решения задач аналитической геометрии.

Правило сложения векторов по правилу треугольников

Рассмотрим два произвольных ненулевых вектора и :

Требуется найти сумму данных векторов. В силу того, что все векторы считаются свободными, отложим вектор от конца вектора :

Суммой векторов и является вектор . Для лучшего понимания правила в него целесообразно вложить физический смысл: пусть некоторое тело совершило путь по вектору , а затем по вектору . Тогда сумма векторов представляет собой вектор результирующего пути с началом в точке отправления и концом в точке прибытия. Аналогичное правило формулируется для суммы любого количества векторов. Как говорится, тело может пройти свой путь сильно поддатым по зигзагу, а может и на автопилоте – по результирующему вектору суммы.

Кстати, если вектор отложить от начала вектора , то получится эквивалентное правило параллелограмма сложения векторов.

Умножение вектора на число

Сначала о коллинеарности векторов. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Грубо говоря, речь идёт о параллельных векторах. Но применительно к ним всегда используют прилагательное «коллинеарные».

Представьте два коллинеарных вектора. Если стрелки данных векторов направлены в одинаковом направлении, то такие векторы называются сонаправленными. Если стрелки смотрят в разные стороны, то векторы будут противоположно направлены.

Обозначения: коллинеарность векторов записывают привычным значком параллельности: , при этом возможна детализация: (векторы сонаправлены) или (векторы направлены противоположно).

Произведением ненулевого вектора на число является такой вектор , длина которого равна , причём векторы и сонаправлены при и противоположно направлены при .

Правило умножения вектора на число легче понять с помощью рисунка:

Разбираемся более детально:

1) Направление. Если множитель отрицательный, то вектор меняет направление на противоположное.

2) Длина. Если множитель заключен в пределах или , то длина вектора уменьшается. Так, длина вектора в два раза меньше длины вектора . Если множитель по модулю больше единицы, то длина вектора увеличивается в раз.

3) Обратите внимание, что все векторы коллинеарны, при этом один вектор выражен через другой, например, . Обратное тоже справедливо: если один вектор можно выразить через другой, то такие векторы обязательно коллинеарны. Таким образом: если мы умножаем вектор на число, то получится коллинеарный (по отношению к исходному) вектор.

4) Векторы сонаправлены. Векторы и также сонаправлены. Любой вектор первой группы противоположно направлен по отношению к любому вектору второй группы.

Какие векторы являются равными?

Два вектора равны, если они сонаправлены и имеют одинаковую длину. Заметьте, что сонаправленность подразумевает коллинеарность векторов. Определение будет неточным (избыточным), если сказать: «Два вектора равны, если они коллинеарны, сонаправлены и имеют одинаковую длину».

С точки зрения понятия свободного вектора, равные векторы – это один и тот же вектор, о чём уже шла речь в предыдущем параграфе.

Координаты вектора на плоскости и в пространстве

Первым пунктом рассмотрим векторы на плоскости. Изобразим декартову прямоугольную систему координат и от начала координат отложим единичные векторы и :

Векторы и ортогональны. Ортогональны = Перпендикулярны. Рекомендую потихоньку привыкать к терминам: вместо параллельности и перпендикулярности используем соответственно слова коллинеарность и ортогональность.

Обозначение: ортогональность векторов записывают привычным значком перпендикулярности, например: .

Рассматриваемые векторы называют координатными векторами или ортами. Данные векторы образуют базис на плоскости. Что такое базис, думаю, интуитивно многим понятно, более подробную информацию можно найти в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов. Простыми словами, базис и начало координат задают всю систему – это своеобразный фундамент, на котором кипит полная и насыщенная геометрическая жизнь.

Иногда построенный базис называют ортонормированным базисом плоскости: «орто» – потому что координатные векторы ортогональны, прилагательное «нормированный» означает единичный, т.е. длины векторов базиса равны единице.

Обозначение: базис обычно записывают в круглых скобках, внутри которых в строгой последовательности перечисляются базисные векторы, например: . Координатные векторы нельзя переставлять местами.

Любой вектор плоскости единственным образом выражается в виде:
, где – числа, которые называются координатами вектора в данном базисе. А само выражение называется разложением вектора по базису .

! ВСЕМ настоятельно рекомендую прочитать ВСЁ!

Начнем с первой буквы алфавита: . По чертежу хорошо видно, что при разложении вектора по базису используются только что рассмотренные:
1) правило умножения вектора на число: и ;
2) сложение векторов по правилу треугольника: .

А теперь мысленно отложите вектор от любой другой точки плоскости. Совершенно очевидно, что его разложение будет «неотступно следовать за ним». Вот она, свобода вектора – вектор «всё носит при себе». Это свойство, разумеется, справедливо для любого вектора. Забавно, что сами базисные (свободные) векторы не обязательно откладывать от начала координат, один можно нарисовать, например, слева внизу, а другой – справа вверху, и от этого ничего не изменится! Правда, делать так не нужно, поскольку преподаватель тоже проявит оригинальность и нарисует вам «зачтено» в неожиданном месте.

Векторы , иллюстрируют в точности правило умножения вектора на число, вектор сонаправлен с базисным вектором , вектор направлен противоположно по отношению к базисному вектору . У данных векторов одна из координат равна нулю, дотошно можно записать так:

А базисные векторы, к слову, так: (по сути, они выражаются сами через себя).

И, наконец: , . Кстати, что такое вычитание векторов, и почему я не рассказал о правиле вычитания? Где-то в линейной алгебре, уже не помню где, я отмечал, что вычитание – это частный случай сложения. Так, разложения векторов «дэ» и «е» преспокойно записываются в виде суммы: , . Проследите по чертежу, как чётко в этих ситуациях работает старое доброе сложение векторов по правилу треугольника.

Рассмотренное разложение вида иногда называют разложением вектора в системе орт (т.е. в системе единичных векторов). Но это не единственный способ записи вектора, распространён следующий вариант:

Или со знаком равенства:

Сами базисные векторы записываются так: и

То есть, в круглых скобках указываются координаты вектора. В практических задачах используются все три варианта записи.

Сомневался, говорить ли, но всё-таки скажу: координаты векторов переставлять нельзя. Строго на первом месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору , строго на втором месте записываем координату, которая соответствует единичному вектору . Действительно, и – это ведь два разных вектора.

С координатами на плоскости разобрались. Теперь рассмотрим векторы в трехмерном пространстве, здесь практически всё так же! Только добавится ещё одна координата. Трехмерные чертежи выполнять тяжко, поэтому ограничусь одним вектором, который для простоты отложу от начала координат:

Перед вами ортонормированный базис трехмерного пространства и прямоугольная система координат, единичные векторы данного базиса попарно ортогональны: и . Ось наклонена под углом 45 градусов только для того, чтобы складывалось визуальное впечатление пространства. О том, как правильно выполнять плоские и трехмерные чертежи на клетчатой бумаге, читайте в самом начале методички Графики и свойства функций.

Любой вектор трехмерного пространства можно единственным способом разложить по ортонормированному базису :
, где – координаты вектора (числа) в данном базисе.

Пример с картинки: . Давайте посмотрим, как здесь работают правила действий с векторами. Во-первых, умножение вектора на число: (красная стрелка), (зеленая стрелка) и (малиновая стрелка). Во-вторых, перед вами пример сложения нескольких, в данном случае трёх, векторов: . Вектор суммы начинается в исходной точке отправления (начало вектора ) и утыкается в итоговую точку прибытия (конец вектора ).

Все векторы трехмерного пространства, естественно, тоже свободны, попробуйте мысленно отложить вектор от любой другой точки, и вы поймёте, что его разложение «останется при нём».

Аналогично плоскому случаю, помимо записи широко используются версии со скобками: либо .

Если в разложении отсутствует один (или два) координатных вектора, то вместо них ставятся нули. Примеры:
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем ;
вектор (дотошно ) – запишем .

Базисные векторы записываются следующим образом:

Вот, пожалуй, и все минимальные теоретические знания, необходимые для решения задач аналитической геометрии. Возможно многовато терминов и определений, поэтому чайникам рекомендую перечитать и осмыслить данную информацию ещё раз. Да и любому читателю будет полезно время от времени обращаться к базовому уроку для лучшего усвоения материала. Коллинеарность, ортогональность, ортонормированный базис, разложение вектора – эти и другие понятия будут часто использоваться в дальнейшем. Отмечу, что материалов сайта недостаточно для сдачи теоретического зачета, коллоквиума по геометрии, так как все теоремы (к тому же без доказательств) я аккуратно шифрую – в ущерб научному стилю изложения, но плюсом к вашему пониманию предмета. Для получения обстоятельной теоретической справки прошу следовать на поклон к профессору Атанасяну.

А мы переходим к практической части:

Простейшие задачи аналитической геометрии.
Действия с векторами в координатах

Задания, которые будут рассмотрены, крайне желательно научиться решать на полном автомате, а формулы запомнить наизусть, даже специально не запоминать, сами запомнятся =) Это весьма важно, поскольку на простейших элементарных примерах базируются другие задачи аналитической геометрии, и будет досадно тратить дополнительное время на поедание пешек. Не нужно застёгивать верхние пуговицы на рубашке, многие вещи знакомы вам со школы.

Изложение материала пойдет параллельным курсом – и для плоскости, и для пространства. По той причине, что все формулы… сами увидите.

Как найти вектор по двум точкам?

Если даны две точки плоскости и , то вектор имеет следующие координаты:

Если даны две точки пространства и , то вектор имеет следующие координаты:

То есть, из координат конца вектора нужно вычесть соответствующие координаты начала вектора.

Задание: Для тех же точек запишите формулы нахождения координат вектора . Формулы в конце урока.

Даны две точки плоскости и . Найти координаты вектора

Решение: по соответствующей формуле:

Как вариант, можно было использовать следующую запись:

Эстеты решат и так:

Лично я привык к первой версии записи.

Ответ:

По условию не требовалось строить чертежа (что характерно для задач аналитической геометрии), но в целях пояснения некоторых моментов чайникам, не поленюсь:

Обязательно нужно понимать различие между координатами точек и координатами векторов:

Координаты точек – это обычные координаты в прямоугольной системе координат. Откладывать точки на координатной плоскости, думаю, все умеют ещё с 5-6 класса. Каждая точка обладает строгим местом на плоскости, и перемещать их куда-либо нельзя.

Координаты же вектора – это его разложение по базису , в данном случае . Любой вектор является свободным, поэтому при желании или необходимости мы легко можем отложить его от какой-нибудь другой точки плоскости (во избежание путаницы переобозначив, например, через ). Интересно, что для векторов можно вообще не строить оси, прямоугольную систему координат, нужен лишь базис, в данном случае ортонормированный базис плоскости .

Записи координат точек и координат векторов вроде бы схожи: , а смысл координат абсолютно разный, и вам следует хорошо понимать эту разницу. Данное отличие, разумеется, справедливо и для пространства.

Дамы и господа, набиваем руку:

а) Даны точки и . Найти векторы и .
б) Даны точки и . Найти векторы и .
в) Даны точки и . Найти векторы и .
г) Даны точки . Найти векторы .

Пожалуй, достаточно. Это примеры для самостоятельного решения, постарайтесь ими не пренебрегать, окупится ;-). Чертежи делать не нужно. Решения и ответы в конце урока.

Вышивание окружности (12 точек) в технике изонить 5 стандартными способами пошагово!!!

Что важно при решении задач аналитической геометрии? Важно быть ПРЕДЕЛЬНО ВНИМАТЕЛЬНЫМ, чтобы не допустить мастерскую ошибку «два плюс два равно нулю». Сразу извиняюсь, если где ошибся =)

Как найти длину отрезка?

Длина, как уже отмечалось, обозначается знаком модуля.

Если даны две точки плоскости и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Если даны две точки пространства и , то длину отрезка можно вычислить по формуле

Примечание: Формулы останутся корректными, если переставить местами соответствующие координаты: и , но более стандартен первый вариант

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение: по соответствующей формуле:

Ответ:

Для наглядности выполню чертёж

Деление окружности на равные части. Урок 6. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Отрезок – это не вектор, и перемещать его куда-либо, конечно, нельзя. Кроме того, если вы выполните чертеж в масштабе: 1 ед. = 1 см (две тетрадные клетки), то полученный ответ можно проверить обычной линейкой, непосредственно измерив длину отрезка.

Да, решение короткое, но в нём есть ещё пара важных моментов, которые хотелось бы пояснить:

Во-первых, в ответе ставим размерность: «единицы». В условии не сказано, ЧТО это, миллиметры, сантиметры, метры или километры. Поэтому математически грамотным решением будет общая формулировка: «единицы» – сокращенно «ед.».

Во-вторых, повторим школьный материал, который полезен не только для рассмотренной задачи:

Обратите внимание на важный технический приёмвынесение множителя из-под корня. В результате вычислений у нас получился результат и хороший математический стиль предполагает вынесение множителя из-под корня (если это возможно). Подробнее процесс выглядит так: . Конечно, оставить ответ в виде не будет ошибкой – но недочетом-то уж точно и весомым аргументом для придирки со стороны преподавателя.

Вот другие распространенные случаи:

Нередко под корнем получается достаточно большое число, например . Как быть в таких случаях? На калькуляторе проверяем, делится ли число на 4: . Да, разделилось нацело, таким образом: . А может быть, число ещё раз удастся разделить на 4? . Таким образом: . У числа последняя цифра нечетная, поэтому разделить в третий раз на 4 явно не удастся. Пробуем поделить на девять: . В результате:
Готово.

Вывод: если под корнем получается неизвлекаемое нацело число, то пытаемся вынести множитель из-под корня – на калькуляторе проверяем, делится ли число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 и т.д.

В ходе решения различных задач корни встречаются часто, всегда пытайтесь извлекать множители из-под корня во избежание более низкой оценки да ненужных заморочек с доработкой ваших решений по замечанию преподавателя.

Давайте заодно повторим возведение корней в квадрат и другие степени:

Правила действий со степенями в общем виде можно найти в школьном учебнике по алгебре, но, думаю, из приведённых примеров всё или почти всё уже ясно.

Задание для самостоятельного решения с отрезком в пространстве:

Даны точки и . Найти длину отрезка .

Решение и ответ в конце урока.

Как найти длину вектора?

Если дан вектор плоскости , то его длина вычисляется по формуле .

Если дан вектор пространства , то его длина вычисляется по формуле .

Данные формулы (как и формулы длины отрезка) легко выводятся с помощью небезызвестной теоремы Пифагора.

Даны точки и . Найти длину вектора .

Я взял те же точки, что и в Примере 3.

Решение: Сначала найдём вектор :

По формуле вычислим длину вектора:

Ответ:

Не забываем указывать размерность – «единицы»! Всегда ли, кстати, нужно рассчитывать приближенное значение (в данном примере 8,94), если этого не требуется в условии? С моей точки зрения, лишним не будет, отсутствие приближенного значения тянет на придирку. Округление целесообразно проводить до 2-3 знаков после запятой.

Выполним чертеж к задаче:

В чём принципиальное отличие от Примера 3? Отличие состоит в том, что здесь речь идёт о векторе, а не об отрезке. Вектор можно переместить в любую точку плоскости, при этом его лучше переобозначить, например, через .

А в чём сходство Примера 3 и Примера 5? Геометрически очевидно, что длина отрезка равна длине вектора . Так же очевидно, что длина вектора будет такой же. По итогу:

Задачу 3 можно было решить и вторым способом, повторю условие: Даны точки и . Найти длину отрезка .

Всё про углы в окружности. Геометрия | Математика

Вместо применения формулы , поступаем так:
1) Находим вектор .
2) А теперь ссылаемся на то, что длина отрезка равна длине вектора :

Этот способ широко практикуется в ходе решений задач аналитической геометрии.

Деление окружности на 3; 6; 12 равных частей

Вышесказанное справедливо и для пространственного случая

а) Даны точки и . Найти длину вектора .
б) Даны векторы , , и . Найти их длины.

Решения и ответы в конце урока.

Действия с векторами в координатах

В первой части урока мы рассматривали правила сложения векторов и умножения вектора на число. Но рассматривали их с принципиально-графической точки зрения. Посмотрим, как данные правила работают аналитически – когда заданы координаты векторов:

1) Правило сложения векторов. Рассмотрим два вектора плоскости и . Для того, чтобы сложить векторы, нужно сложить их соответствующие координаты: . Как просто. На всякий случай запишу частный случай – формулу разности векторов: . Аналогичное правило справедливо для суммы любого количества векторов, добавим например, вектор и найдём сумму трёх векторов:

Если речь идёт о векторах в пространстве, то всё точно так же, только добавится дополнительная координата. Если даны векторы , то их суммой является вектор .

2) Правило умножения вектора на число. Ещё проще! Для того чтобы вектор умножить на число , нужно каждую координату данного вектора умножить на число :
.

Для пространственного вектора правило такое же:

Приведённые факты строго доказываются в курсе аналитической геометрии.

Примечание: Данные правила справедливы не только для ортонормированных базисов , но и для произвольного аффинного базиса плоскости или пространства. Более подробно о базисах читайте в статье Линейная (не) зависимость векторов. Базис векторов.

Даны векторы и . Найти и

Решение чисто аналитическое:

Ответ:

Чертеж в подобных задачах строить не надо, тем не менее, геометрическая демонстрация будет весьма полезной. Если считать, что векторы заданы в ортонормированном базисе , то графическое решение задачи будет таким:

1 2 1 деление окружности

Коль скоро речь идет только о векторах в ортонормированном базисе, то оси рисовать не обязательно. Достаточно начертить базисные векторы, причём, где угодно. Ну, и координатную сетку для удобства. Строго говоря, ранее я допустил небольшой огрех – в некоторых чертежах урока тоже можно было не чертить декартову прямоугольную систему координат. Векторам она не нужна, им нужен базис. Впрочем, лучше всегда рисуйте, а то напугаете всех своими знаниями =)

Как видите, графический способ решения привёл к тем же результатам, что и аналитический способ решения. Ещё раз заметьте свободу векторов: любую из трёх «конструкций» можно переместить в любую точку плоскости.

Для векторов в пространстве можно провести аналогичные выкладки. Но там чертежи строить значительно сложнее, поэтому ограничусь аналитическим решением (на практике, собственно, бОльшего и не надо):

Даны векторы и . Найти и

Решение: Для действий с векторами справедлив обычный алгебраический приоритет: сначала умножаем, потом складываем:

Ответ:

И в заключение занятный пример с векторами на плоскости:

Даны векторы . Найти и

Это задача для самостоятельного решения.

Какой вывод? Многие задачи аналитической геометрии прозрачны и просты, главное, не допустить вычислительных ошибок. Следующие рекомендуемые к изучению уроки:

Это, так скажем, вектор-минимум студента =)

Любите векторы, и векторы полюбят вас!

Решения и ответы:

Пример 4: Решение:
По соответствующей формуле: и

Ответ:

Пример 6: и
а) Решение: найдём вектор :

Вычислим длину вектора:

Ответ:

б) Решение:
Вычислим длины векторов:

Пример 9: Решение:

Примечание: Перед выполнением действий можно предварительно раскрыть скобки:

Оцените статью
Подборка лучших МК по рукоделию с видео